ФАКУЛЬТЕТ: НАШИ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НА МИРОВОМ УРОВНЕ

Профессор Ю.И. Неймарк – ученик академика А.А. Андронова – возглавил, по существу, основное научное направление Горьковской школы теории нелинейных колебаний. Основное место в научной деятельности Ю.И. Неймарка занимали, несомненно, исследования метода точечных отображений и его приложения в теории динамических систем. Фундаментальные результаты, полученные Ю.И. Неймарком в этой области, привели к тому, что точечные отображения стали формой описания динамических систем, удобной как для изучения конкретных систем и численных исследований, так и для рассмотрения теоретических вопросов. Метод точечных отображений в сочетании с качественными методами исследования дифференциальных уравнений, численными методами и широким использованием электронных вычислительных машин позволил исследовать достаточно широкий класс конкретных существенно нелинейных систем, с его помощью получены важные результаты в теории дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, в методе усреднения, в теории устойчивости движения, в теории оптимизации. Особое место в работе Ю.И. Неймарка занимали исследования стохастических автоколебаний и синхронизмов. Опираясь на изучение интегральных многообразий и гомоклинических структур при помощи метода точечных отображений в сочетании с идеями теории бифуркаций, Юрий Исаакович показал, что неустойчивость и гиперболичность сопутствуют хаотическим и стохастическим автоколебаниям так же, как устойчивость и сжимаемость сопутствуют периодическим автоколебаниям. При помощи вспомогательных точечных отображений ему удалось объяснить механизм возникновения стохастических движений столь же просто, как и механизм возникновения автоколебаний с помощью обычных точечных отображений. В настоящее время на кафедре теории управления и динамики машин исследования систем ансамблей нелинейных осцилляторов со сложным поведением траекторий методами теории колебаний успешно продолжает заведующий этой кафедрой профессор Г.В. Осипов и его ученики.

В середине 60-х годов Ю.И. Неймарк обратил внимание на задачу регулирования потока автотранспорта на перекрестке. Так появилось и со временем окрепло новое для ННГУ направление в области теории массового обслуживания. В настоящее время заведующий кафедрой прикладной теории вероятностей профессор М.А. Федоткин и его ученик А.В. Зорин активно продолжают развивать это направление. Многолетние наработки касаются таких важных для общественной жизни областей, как управление транспортными потоками, медицинская статистика, управление инновационной деятельностью промышленных предприятий и другие. В последние годы были предложены вероятностные механизмы формирования пространственной и временной структуры движения автотранспорта на автомагистрали при различных погодных условиях. Изучение наблюдательных данных показывает хорошее согласие между построенными моделями и реальностью. С применением нового подхода к построению и анализу сложных управляющих эволюционных систем были впервые рассмотрены модели передвижения автотранспорта между смежными перекрестками и пересечения перекрестков. Были получены условия, при которых не происходит скапливания автотранспорта перед стоп-линиями, так называемых «пробок». Для некоторых разделов медицины важным вопросом является определение эффективной дозы лекарства с учетом того, что для различных организмов порог действия лекарства является индивидуальным и может зависеть от множества не наблюдаемых факторов. Профессором кафедры М.С. Тиховым разработаны простые и надежные методы определения эффективных доз, практичные в вычислительном отношении.

Важной математической областью, интересующей Ю.И. Неймарка, была задача поиска глобального экстремума функций. Это направление исследований в ННГУ, возникшее под влиянием и при активном участии Ю.И. Неймарка, сегодня продолжает и развивает его ученик заведующий кафедрой математического обеспечения ЭВМ профессор Р.Г. Стронгин, являющийся крупным специалистом по методам глобальной оптимизации и руководителем созданной им научной школы в области теории и методов принятия решений. В этой области также активно работают ученики Ю.И. Неймарка и Р.Г. Стронгина С.Ю. Городецкий, В.А. Гришагин, В.П. Гергель, Я.Д. Сергеев.

Еще одним научным направлением, в котором Ю.И. Неймарком были получены основополагающие результаты, является динамика неголономных систем, т.е. механических и электро-механических систем с неинтегрируемыми кинематическими связями. Многие результаты, полученные Ю.И. Неймарком в области механики неголономных систем, заставили пересмотреть некоторые ставшие классическими представления аналитической механики. Полученные результаты в этой области нашли отражение в монографии Ю.И. Неймарка и Н.А. Фуфаева «Динамика неголономных систем» (изд. «Наука», Москва, 1967 г.), которая в 1971 году была переведена на польский язык и издана в Польше, а в 1972 году – на английском языке, издана в США.

Профессор Ю.И. Неймарк создал в ННГУ научную школу по динамике, механике, управлению и математическому моделированию. Около шестидесяти его учеников защитили кандидат-ские диссертации. Семнадцать человек из них стали докторами наук. Его воспитанники работают во всех уголках нашей Родины и за рубежом.

Важное направление математических исследований на факультете ВМК было сформировано профессором С.Н. Слугиным, который в течение 40 лет возглавлял кафедру численного и функционального анализа. Областью его исследований являются топологические методы в теории приближенных вычислений и оптимального управления. С.Н. Слугин привлек к работе на кафедре с 1965 по 1969 год известного советского математика доктора фи-зико-математических наук, профессора А.Г. Сигалова. Им были получены существенные результаты в области вариационного исчисления: значительное продвижение в решении 19 и 20 проблем Гильберта. В начале ХХ века Гильберт, характеризуя основные направления математических исследований, сформулировал перечень проблем, которые будут определять развитие математики в течение ближайшего столетия. Среди них в качестве одной из важнейших проблем Гильберт предложил доказать, что регулярные вариационные задачи имеют решение в некотором определенном классе функций. В 20-й проблеме Гильберта утверждалось, что задача на отыскание минимума интегрального функционала, определенного на решении краевой задачи Дирихле, имеет, по крайней мере, одно решение, если искать его в достаточно широком классе функций. Усилия математиков середины ХХ века были направлены на выяснение единственности и исследование гладкости упомянутых решений экстремальной задачи в зависимости от гладкости интегранта. Для двумерной области этот вопрос исследовался в работах А.Г. Сигалова и его ученика В.И. Плотникова, также работавшего на кафедре численного и функционального анализа с 1976 по 1988 год. Их результаты, ставшие классическими, нашли отражение в изданной в 1970 году «Истории отечественной математики». В шестидесятых годах, после открытия принципа максимума Л.С. Понтрягина для динамических систем, научные интересы В.И. Плотникова постепенно перемещаются в область неклассического вариационного исчисления – математическую теорию оптимального управления. Он одним из первых начинает разрабатывать теорию оптимального управления системами с распределенными параметрами. В короткое время В.И. Плотников получает здесь глубокие результаты. Он создает единую конструктивную теорию оптимизации распределенных и сосредоточенных систем, ядром которой является общая схема получения необходимых и достаточных условий оптимальности.

Профессора А.Г. Сигалов, В.И. Плотников, С.Н. Слугин создали в ННГУ научную школу математической физики, вариационного исчисления и оптимального управления. Результаты, полученные усилиями этой школы, по теории оптимального управления сосредоточенными и распределенными системами, заслужили мировое признание. Кафедра ЧИФА во многом формировалась из представителей этой научной школы.

С 1976 по 2011 год на кафедре численного и функционального анализа работал известный российский математик профессор Л.П. Шильников, один из создателей современной качественной теории многомерных динамических систем и основатель научной школы в ННГУ по динамическим системам. Основные полученные им научные результаты относятся к теории странных аттракторов, гомоклиническим бифуркациям, гамильтоновым интегрируемым и неинтегрируемым системам с гомоклиническими и гетегоклиническими траекториями.

Математические традиции в области теории оптимального управления и качественной теории дифференциальных уравнений, заложенные замечательными людьми и учеными, сегодня на кафедре поддерживают и развивают заведующий кафедрой профессор Д.В. Баландин, профессор В.З. Гринес, доценты О.А. Кузенков, В.М. Шашков, А.Л. Калашников, Н.Н. Бутенина, В.И. Лукьянов.

Исследования в области дискретной математики, начатые в 60-е годы Ю.В. Глебским на кафедре математической логики и высшей алгебры, активно продолжаются и сегодня. Основные научные направления этой кафедры – математическая логика, дискретная оптимизация, теория графов, теория кодирования. Важные результаты в области математической логики получены Ю.В. Глебским и его учениками Д.И. Коганом, М.И. Лиогоньким, В.А. Талановым. Направление, связанное с дискретной оптимизацией, развивают на кафедре профессор В.Н. Шевченко и его ученики Н.Ю. Золотых, С.И. Веселов, А.Ю. Чирков. Основные результаты в области теории графов, полученные профессором В.Е. Алексеевым и его учениками С.В. Сорочаном и Д.С. Малышевым, относятся к теории наследственных классов графов. Важные результаты в области теории кодирования были получены известным российским математиком профессором А.А. Марковым, работавшем на кафедре до 1994 года. Его ученица профессор Л.П. Жильцова активно продолжает исследования в этом направлении.